Dlaczego mecz piłkarski to zadanie Poissona
Gole są rzadkie i pojawiają się w przypadkowym momencie. Przez dziewięćdziesiąt minut drużyna wypracowuje może kilkanaście realnych sytuacji, każda kończy się bramką tylko czasem, a sytuacje rozkładają się mniej więcej równomiernie, nie w konkretnej minucie. Dokładnie do tego stworzono rozkład Poissona: zdarzenia o pewnej średniej intensywności w ustalonym przedziale, niezależnie od tego, kiedy wydarzyło się poprzednie.
Dlatego Poisson jest domyślnym modelem piłkarskim, odkąd Moroney napisał o nim w latach pięćdziesiątych, i dlatego nadal stanowi punkt wyjścia niemal każdego komercyjnego modelu wyceny. Nie dlatego, że to ostatnie słowo, lecz dlatego, że potrzebuje dokładnie jednej liczby na drużynę — i podchodzi zaskakująco blisko.
Tą liczbą jest lambda: gole, których oczekujesz po tej drużynie w tym meczu. Wszystko na tej stronie wynika z dwóch lambd i z niczego więcej.
Wzór i co naprawdę znaczy lambda
Dla drużyny o oczekiwanych golach λ prawdopodobieństwo strzelenia dokładnie k bramek wynosi:
P(k) = e^−λ × λ^k ÷ k!
Drużyna z oczekiwaniem 1.6 gola ma więc 20.2% szans, że nie strzeli wcale, 32.3% na dokładnie jedną bramkę, 25.8% na dokładnie dwie i tak dalej, wzdłuż ogona, który nigdy nie dochodzi do zera.
Warto jasno powiedzieć, czym λ nie jest. To nie liczba goli, którą drużyna strzeli — nikt nie strzela 1.6 bramki. To też nie średnia z przeszłych meczów, choć przeszłe mecze na nią wpływają. To twoje oszacowanie tempa strzelania tej drużyny w tym konkretnym meczu, przeciw temu rywalowi, przy tym składzie. Cały model opiera się na niej — i w tym jego elegancja, i jego słabość.
Z dwóch liczb w pełną kartę meczu
Weźmy gospodarzy na 1.60 i gości na 1.20. Jeśli potraktować oba procesy strzelania jako niezależne, prawdopodobieństwo dowolnego dokładnego wyniku to po prostu iloczyn: P(2−1) = P(gospodarze strzelają 2) × P(goście strzelają 1).
Zrób tak dla każdego wyniku, a otrzymasz siatkę. Każdy rynek, jaki przyjdzie ci do głowy, to inny sposób zsumowania jej pól.
• Wygrana gospodarzy: wszystkie pola, gdzie liczba gospodarzy jest większa — 46.7%, uczciwy kurs 2.14
• Remis: przekątna — 24.7%, uczciwy kurs 4.05
• Wygrana gości: 28.6%, uczciwy kurs 3.49
• Over 2.5: wszystkie pola, których suma wynosi co najmniej trzy — 53.1%, uczciwy kurs 1.88
• Obie drużyny strzelą: wszystkie pola z co najmniej jedną bramką po każdej stronie — 55.8%, uczciwy kurs 1.79
• Najbardziej prawdopodobny pojedynczy wynik: 1−1, z 11.7%
Kalkulator Poissona liczy to wszystko z dwóch liczb wejściowych. Istotna własność: te kursy są ze sobą spójne z samej konstrukcji — to sześć spojrzeń na jedną siatkę, a nie sześć osobnych szacunków. Jeśli bierzesz 1X2 z jednego źródła, a totale z innego, nic nie gwarantuje zgodności; tutaj zgodność jest wymuszona. Dla linii ćwiartkowych i połówkowych kalkulator linii golowej rozlicza podział stawki wynikający z tej samej siatki.
Skąd brać te dwie liczby
Można iść od rynku wstecz. Azjatycki handicap bukmachera mówi, jakiej różnicy bramek się spodziewa; total mówi o sumie. Dwa równania, dwie niewiadome — handicap −0.5 przy totalu 2.75 daje mniej więcej 1.6 i 1.15. To nie prognoza, lecz tłumaczenie: czytasz własne zdanie rynku w formie, z którą możesz się potem spierać punkt po punkcie.
Albo zbuduj liczby samodzielnie. Zwykła droga to oczekiwane gole: weź xG wykreowane i stracone przez każdą drużynę w ostatnim okresie, skoryguj o siłę rywala, dodaj mnożnik przewagi własnego boiska rzędu 1.1-1.15 dla gospodarzy i odwrotność dla gości. Ściągaj wszystko w stronę średniej ligowej, gdy próba jest mała — sześć meczów to nie sezon.
Obie drogi są uprawnione i odpowiadają na różne pytania. Czytanie rynku mówi, co jest już w cenie. Własna konstrukcja mówi, gdzie się z rynkiem nie zgadzasz. Zarobić pozwala tylko to drugie.
Trzy rzeczy, które model przekłamuje
Po pierwsze, niezależność. Poisson zakłada, że drużyny strzelają bez oglądania się na siebie, a piłka tak nie działa. Zespół prowadzący dwiema bramkami często cofa się niżej; zespół odrabiający straty otwiera się. Skutek empiryczny jest dobrze udokumentowany: niskie, wyrównane wyniki — zwłaszcza 0−0 i 1−1 — zdarzają się nieco częściej, niż przewiduje niezależny Poisson, a wyniki jednostronne nieco rzadziej. Dixon i Coles opublikowali poprawkę dokładnie dla tych pól w 1997 roku i do dziś jest to standardowa łatka. Uczciwe jej dopasowanie wymaga bazy wyników — dlatego kalkulator przyjmujący dwie liczby nie może jej zastosować.
Po drugie, jedna λ na drużynę zakłada, że tempo strzelania jest stałe przez cały mecz. Nie jest: goli na minutę przybywa pod koniec każdej połowy, a czerwona kartka albo wczesna bramka przepisują tempo całkowicie. Dla wyceny przedmeczowej znaczy to mniej, niż się wydaje; dla live — ogromnie dużo.
Po trzecie i najważniejsze: model jest lustrem. Przyjmie dowolne dwie liczby i zwróci precyzyjne, pewne siebie, ładnie sformatowane kursy. Jeśli twoje oczekiwane gole są niedbałe, wynik też jest niedbały — tyle że wygląda autorytatywnie. Precyzja to nie trafność, a model, który nie umie powiedzieć „nie wiem", nigdy cię nie ostrzeże, że na wejściu były śmieci.
Jak używać i nie oszukać samego siebie
Dyscyplina, która czyni to użytecznym, jest prosta: wyceń mecz, zanim spojrzysz na kursy. Zapisz swoje dwie liczby, odczytaj uczciwe kursy z siatki i dopiero potem otwórz bukmachera. Odwrotna kolejność sprawi, że rynek cię zakotwiczy, a ty dobierzesz lambdy pod kurs, który już zobaczyłeś.
Potem porównuj poprawnie. W kursie bukmachera siedzi marża, więc nie da się go zestawić z twoim uczciwym kursem, dopóki jej nie zdejmiesz przez uczciwe kursy bez marży. Gdy obie liczby są wolne od marży, różnica między nimi to twoja szacowana przewaga, a wyszukiwarka value zamienia ją w wartość oczekiwaną przy danej stawce.
I sprawdzaj się na dystansie, nie przez weekend. Jeśli twoje lambdy są naprawdę lepsze od rynkowych, twoje zakłady będą częściej bić kurs zamknięcia — to właśnie mierzy CLV i powie ci, czy model działa, dużo wcześniej niż krzywa zysku. Model, który systematycznie przegrywa z kursem zamknięcia, jest błędny, choćby ostatni miesiąc wyglądał świetnie.