Чому футбольний матч — це задача Пуассона
Голи рідкісні й приходять у довільний момент. За дев'яносто хвилин команда створює може з десяток справжніх моментів, кожен реалізується лише інколи, і ці моменти розкидані по матчу більш-менш рівномірно, а не прив'язані до конкретної хвилини. Саме для цього й створений розподіл Пуассона: події, що трапляються з певною середньою інтенсивністю на фіксованому інтервалі, незалежно від того, коли сталася попередня.
Тому Пуассон є базовою футбольною моделлю ще відтоді, як Мороні написав про неї у 1950-х, і тому він досі лишається відправною точкою майже для кожної комерційної моделі ціноутворення. Не тому, що це остаточна відповідь, а тому, що йому потрібне рівно одне число на команду — і він підбирається на диво близько.
Це число — лямбда, тобто голи, яких ви очікуєте від цієї команди в цьому матчі. Усе на цій сторінці походить з двох лямбд і більше нічого.
Формула і що насправді означає лямбда
Для команди з очікуваними голами λ ймовірність забити рівно k голів:
P(k) = e^−λ × λ^k ÷ k!
Отже, команда з очікуванням 1.6 гола має 20.2% шансів не забити взагалі, 32.3% — забити рівно один, 25.8% — рівно два, і далі по хвосту, який ніколи не доходить до нуля.
Варто чітко сказати, чим λ не є. Це не кількість голів, яку команда заб'є — ніхто не забиває 1.6 гола. Це й не середнє по минулих матчах, хоча минулі матчі на нього впливають. Це ваша оцінка темпу забивання цієї команди саме в цьому матчі, проти саме цього суперника, з наявним складом. Уся модель тримається на ньому — у цьому і її елегантність, і її слабкість.
Від двох чисел до повної картки матчу
Візьмімо господарів на 1.60 і гостей на 1.20. Якщо вважати два процеси забивання незалежними, ймовірність будь-якого точного рахунку — це просто добуток: P(2−1) = P(господарі забивають 2) × P(гості забивають 1).
Зробіть так для кожного рахунку — і отримаєте сітку. Будь-який ринок, який спадає на думку, — це інший спосіб скласти її клітинки.
• Перемога господарів: усі клітинки, де число господарів більше — 46.7%, чесний коеф. 2.14
• Нічия: діагональ — 24.7%, чесний коеф. 4.05
• Перемога гостей: 28.6%, чесний коеф. 3.49
• Більше 2.5: усі клітинки, де сума від трьох — 53.1%, чесний коеф. 1.88
• Обидві заб'ють: усі клітинки, де є хоча б гол з кожного боку — 55.8%, чесний коеф. 1.79
• Найімовірніший окремий результат: 1−1, з 11.7%
Калькулятор Пуассона рахує це все з двох вхідних чисел. Важлива властивість: ці ціни узгоджені між собою за побудовою — це шість поглядів на одну сітку, а не шість окремих оцінок. Якщо брати 1X2 з одного джерела, а тотали з іншого, ніщо не гарантує, що вони зійдуться; тут вони зійтися зобов'язані. Для чвертних і половинних ліній тоталу калькулятор голової лінії рахує поділ ставки, який випливає з тієї ж сітки.
Звідки беруться ці два числа
Можна йти від ринку назад. Азійська фора букмекера каже, якої різниці м'ячів він очікує; тотал каже про суму. Два рівняння, дві невідомі — фора −0.5 при тоталі 2.75 дає приблизно 1.6 і 1.15. Це не прогноз, а переклад: ви читаєте власну думку ринку у формі, з якою потім можна посперечатися по частинах.
Або будуйте числа самі. Звичний шлях — очікувані голи: візьміть створений і пропущений xG кожної команди за останній відрізок, скоригуйте на силу суперника, додайте множник переваги поля приблизно 1.1-1.15 для господарів і обернений для гостей. Стягуйте все до середнього по лізі, коли вибірка мала — шість матчів це не сезон.
Обидва шляхи легітимні й відповідають на різні питання. Читання ринку каже, що вже закладено в ціну. Власна побудова каже, де ви з ринком не згодні. Заробити дозволяє лише друге.
Три речі, які модель спотворює
Перше — незалежність. Пуассон припускає, що команди забивають без оглядки одна на одну, а футбол працює не так. Команда, що веде у два м'ячі, часто сідає нижче; команда, що відіграється, розкривається. Емпіричний наслідок добре задокументований: низькі рівні рахунки — особливо 0−0 і 1−1 — трапляються трохи частіше, ніж передбачає незалежний Пуассон, а розгромні трохи рідше. Діксон і Коулз опублікували поправку саме для цих клітинок у 1997 році, і вона досі є стандартною латкою. Чесно підігнати її можна лише маючи базу результатів — тому калькулятор, який приймає два числа, застосувати її не може.
Друге — одна λ на команду припускає, що темп забивання сталий протягом матчу. Це не так: голів за хвилину більшає ближче до кінця кожного тайму, а червона картка чи ранній гол переписують темп повністю. Для дометчевої оцінки це важить менше, ніж здається; для лайву — величезно.
Третє й головне: модель — це дзеркало. Вона візьме будь-які два числа і поверне точні, впевнені, гарно оформлені коефіцієнти. Якщо ваші очікувані голи недбалі, результат теж недбалий — просто виглядає авторитетно. Точність це не правильність, і модель, яка не вміє сказати «не знаю», ніколи не підкаже, що на вході було сміття.
Як користуватися і не обманути себе
Дисципліна, яка робить це корисним, проста: оцініть матч до того, як подивитесь на коефіцієнти. Запишіть два свої числа, зчитайте чесні коефіцієнти з сітки — і лише потім відкривайте букмекера. Зробите навпаки — ринок вас заякорить, і ви підженете лямбди під уже побачену ціну.
Далі порівнюйте коректно. У ціні букмекера є маржа, тож вона не порівнянна з вашим чесним коефіцієнтом, доки ви її не знімете через чесні коефіцієнти без маржі. Коли обидва числа без маржі, різниця між ними — ваша оцінка переваги, а пошук value перетворює її на очікувану вигоду при заданій ставці.
І перевіряйте себе на дистанції, а не за вікенд. Якщо ваші лямбди справді кращі за ринкові, ваші ставки частіше за все битимуть коефіцієнт закриття — саме це вимірює CLV, і він покаже, чи працює модель, задовго до того, як це покаже крива прибутку. Модель, яка стабільно програє ціні закриття, помилкова, хоч би яким вдалим виглядав минулий місяць.