Poisson für Fußballwetten: aus erwarteten Toren faire Quoten machen

Zwei Zahlen — wie viele Tore Sie von jeder Mannschaft erwarten — genügen, um das ganze Spiel zu bepreisen. Hier ist die Verteilung, die das leistet, die Arithmetik hinter jedem Markt und die drei Dinge, die sie stillschweigend falsch macht.

Warum ein Fußballspiel ein Poisson-Problem ist

Tore sind selten und fallen zu keinem festgelegten Zeitpunkt. In neunzig Minuten erarbeitet sich eine Mannschaft vielleicht ein Dutzend echte Chancen, von denen jede nur manchmal sitzt, und diese Chancen verteilen sich einigermaßen gleichmäßig über das Spiel statt sich auf eine bestimmte Minute zu häufen. Genau dafür wurde die Poisson-Verteilung gebaut: Ereignisse, die mit einer durchschnittlichen Rate in einem festen Intervall auftreten, unabhängig davon, wann das letzte eintrat.

Deshalb ist Poisson das Standardmodell im Fußball, seit Moroney in den 1950er-Jahren darüber schrieb, und deshalb bleibt es bis heute der Ausgangspunkt fast jedes kommerziellen Preismodells. Nicht weil es das letzte Wort wäre, sondern weil es genau eine Zahl je Mannschaft braucht und erstaunlich nah herankommt.

Diese Zahl ist Lambda: die Tore, die Sie von dieser Mannschaft in diesem Spiel erwarten. Alles auf dieser Seite folgt aus zwei Lambdas und sonst nichts.

Die Formel, und was Lambda wirklich bedeutet

Für eine Mannschaft mit erwarteten Toren λ beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau k Tore zu erzielen:

P(k) = e^−λ × λ^k ÷ k!

Eine Mannschaft mit einer Erwartung von 1.6 Toren trifft also mit 20.2% Wahrscheinlichkeit gar nicht, mit 32.3% genau einmal, mit 25.8% genau zweimal, und so weiter entlang eines Endes, das nie ganz auf null fällt.

Es lohnt sich zu klären, was λ nicht ist. Es ist nicht die Zahl der Tore, die die Mannschaft erzielen wird — niemand schießt 1.6 Tore. Es ist auch kein Mittelwert vergangener Ergebnisse, auch wenn diese einfließen. Es ist Ihre Schätzung der Trefferrate dieser Mannschaft in genau diesem Spiel, gegen genau diesen Gegner, mit diesem Kader. Das ganze Modell ruht darauf — darin liegt seine Eleganz und seine Schwäche.

Von zwei Zahlen zur kompletten Spielkarte

Nehmen wir die Heimmannschaft mit 1.60 und die Auswärtsmannschaft mit 1.20. Behandelt man beide Trefferprozesse als unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit jedes exakten Ergebnisses einfach das Produkt: P(2−1) = P(Heim trifft 2) × P(Auswärts trifft 1).

Macht man das für jedes Ergebnis, entsteht ein Raster. Jeder Markt, der Ihnen einfällt, ist nur eine andere Art, dessen Felder zu addieren.

• Heimsieg: alle Felder, in denen die Heimzahl größer ist — 46.7%, faire Quote 2.14
• Unentschieden: die Diagonale — 24.7%, faire Quote 4.05
• Auswärtssieg: 28.6%, faire Quote 3.49
• Über 2.5: alle Felder, deren Summe mindestens drei beträgt — 53.1%, faire Quote 1.88
• Beide Teams treffen: alle Felder mit mindestens einem Tor je Seite — 55.8%, faire Quote 1.79
• Wahrscheinlichstes Einzelergebnis: 1−1, mit 11.7%

Der Poisson-Rechner erledigt all das aus den beiden Eingaben. Die wichtige Eigenschaft: Diese Preise sind konstruktionsbedingt untereinander konsistent — sechs Blicke auf ein Raster, nicht sechs getrennte Schätzungen. Wer 1X2 aus einer Quelle und Totals aus einer anderen nimmt, hat keinerlei Garantie, dass beides zusammenpasst; hier muss es das. Für Viertel- und halbe Linien rechnet der Goal-Line-Rechner die Einsatzaufteilung, die dasselbe Raster impliziert.

Woher die beiden Zahlen kommen

Sie können rückwärts vom Markt arbeiten. Das asiatische Handicap eines Buchmachers verrät, welche Tordifferenz er erwartet; das Total verrät die Summe. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte — ein Handicap von −0.5 bei einem Total von 2.75 ergibt ungefähr 1.6 und 1.15. Das ist keine Prognose, sondern eine Übersetzung: Sie lesen die Sicht des Marktes in einer Form, der Sie anschließend Stück für Stück widersprechen können.

Oder Sie bauen die Zahlen selbst. Der übliche Weg sind Expected Goals: Nehmen Sie das erzeugte und das zugelassene xG jeder Mannschaft über einen jüngeren Zeitraum, korrigieren Sie um die Gegnerstärke und legen Sie einen Heimvorteilsfaktor von etwa 1.1 bis 1.15 auf die Heimseite und den Kehrwert auf die Auswärtsseite. Ziehen Sie alles in Richtung Ligamittel, wenn die Stichprobe klein ist — sechs Spiele sind keine Saison.

Beide Wege sind legitim und beantworten verschiedene Fragen. Den Markt zu lesen sagt Ihnen, was bereits eingepreist ist. Selbst zu rechnen sagt Ihnen, wo Sie anderer Meinung sind. Geld verdienen lässt sich nur mit dem Zweiten.

Drei Dinge, die das Modell falsch macht

Erstens die Unabhängigkeit. Poisson unterstellt, dass beide Mannschaften ohne Rücksicht aufeinander treffen, und so funktioniert Fußball nicht. Wer zwei Tore führt, zieht sich oft zurück; wer einem Rückstand hinterherläuft, öffnet sich. Die empirische Folge ist gut dokumentiert: niedrige, ausgeglichene Ergebnisse — vor allem 0−0 und 1−1 — treten etwas häufiger auf, als unabhängiges Poisson vorhersagt, einseitige Ergebnisse etwas seltener. Dixon und Coles veröffentlichten 1997 eine Korrektur für genau diese Felder, und sie ist bis heute der übliche Flicken. Sie seriös zu schätzen verlangt eine Ergebnisdatenbank — weshalb ein Rechner, der zwei Zahlen entgegennimmt, sie nicht anwenden kann.

Zweitens unterstellt ein einziges λ je Mannschaft, dass die Trefferrate über das Spiel konstant bleibt. Das ist sie nicht: Tore pro Minute nehmen gegen Ende jeder Halbzeit zu, und eine Rote Karte oder ein frühes Tor schreiben die Rate komplett um. Für die Vorspiel-Bepreisung zählt das weniger, als man denkt; im Live-Betrieb enorm.

Drittens, und das wiegt am schwersten: Das Modell ist ein Spiegel. Es nimmt jede beliebige Zahl entgegen und liefert präzise, selbstbewusste, sauber formatierte Quoten zurück. Sind Ihre erwarteten Tore nachlässig, ist das Ergebnis es auch — es sieht nur maßgeblich aus. Präzision ist nicht Richtigkeit, und ein Modell, das kein „weiß nicht" kennt, wird Ihnen nie sagen, dass die Eingabe Unsinn war.

Nutzen, ohne sich selbst zu täuschen

Die Disziplin, die das nützlich macht, ist schlicht: Bepreisen Sie das Spiel, bevor Sie auf die Quoten schauen. Schreiben Sie Ihre zwei Zahlen auf, lesen Sie die fairen Quoten aus dem Raster ab, und öffnen Sie erst dann den Buchmacher. Andersherum verankert Sie der Markt, und Sie konstruieren rückwärts genau die Lambdas, die den schon gesehenen Preis rechtfertigen.

Vergleichen Sie dann sauber. Im Preis des Buchmachers steckt Marge, er ist also mit Ihrer fairen Quote erst vergleichbar, wenn Sie sie über faire Quoten ohne Marge herausrechnen. Sind beide Zahlen margenfrei, ist der Abstand zwischen ihnen Ihr geschätzter Vorteil, und der Value-Finder macht daraus den Erwartungswert für einen gegebenen Einsatz.

Und überprüfen Sie sich über die Distanz, nicht über ein Wochenende. Sind Ihre Lambdas wirklich besser als die des Marktes, schlagen Ihre Wetten häufiger als nicht die Schlussquote — genau das misst Closing Line Value, und es zeigt Ihnen lange vor der Gewinnkurve, ob das Modell trägt. Ein Modell, das dauerhaft gegen den Schlusskurs verliert, ist falsch, wie gut der letzte Monat auch aussah.